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同学好~很高兴能回答你问题
问题一：【んだ】是一个语法，然后你提到的【んだ】和【のだ】是有关联的：完整用法是~んです，是～のです的口语化形式，简体是～んだ、～のだ。表示解释原因、说明状况、强调等。

【んだ】的接续如下：
<接续>：用言连体形+んだ、名词+なんだ
<意味>：用于解释和说明某一事情，或者对某一事物作归纳和总结。
如：どうして来なかったんですか。为什么没来呢？
太陽がきらきら光るのが好きなんだ。我喜欢灿烂的太阳。

问题二：【のだ】的用法
是的，常见的就是同学列举出的这3种，助助看的话是第三种更常用。
用法③：用于解释和说明某一事情，或者对某一事物作归纳和总结。（事情を説明する場合と、事情説明を求める（事情を聞く）場合に使う。）
　 私もよく手伝ったことがあるのだ。／我也经常帮忙。
　 今年の冬は寒いのです。／今年的冬天真冷。

以上，希望能解答你的疑问
如果还有不理解的地方欢迎追问哈~
祝学习愉快~